Автор разработки: Полилей Илья Александрович, магистрант 1 курса образовательной программы «Математика и информационные технологии» ФГБОУ ВО «Армавирский государственный педагогический университет»
Научный руководитель: Деркач Дмитрий Васильевич, к.ф.-м.н., доцент кафедры математики, физики и методики их преподавания
Ниже представлены задания на построение стереометрических чертежей в программе динамической геометрии GeoGebra. Программа свободно распространяемая, официальный сайт https://www.geogebra.org. На сайте доступна онлайн версия программы, а также можно скачать программу для персонального компьютера или смартфона. В заданиях подразумевается, что на компьютере установлена программа GeoGebra.
Задание 1. Построить на 2D полотне программы GeoGebra правильную треугольную пирамиду (рис. 1).
Алгоритм построения правильной треугольной пирамиды на 2D полотне в программе GeoGebra
Алгоритм построения некоторой правильной треугольной пирамиды на 2D полотне в программе (в описании алгоритма подразумеваем, что использование интуитивно понятного интерфейса позволяет выполнить простые построения самостоятельно):
— построить основание пирамиды – произвольный треугольник АВС (рис. 2); рекомендуется строить именно тупоугольный треугольник, чтобы итоговое изображение было достаточно наглядным и элементы пирамиды не накладывались друг на друга (не перекрывали);
— построить медианы треугольника (достаточно двух медиан) и найти их точку пересечения (рис. 3);
— построить вертикальную прямую l по уравнению x=1 (можно строить прямую х=а, а – любое; или просто отобразить оси координат, при этом вертикальная ось – прямая с уравнением х=0);
— построить прямую, проходящую через центр основания пирамиды, параллельную вертикальной прямой l (рис. 4);
— строим произвольную точку S – вершину пирамиды, лежащую на прямой l, строим боковые ребра пирамиды (рис. 5);
— скрываем вспомогательные построения, указываем невидимые линии, определяем стиль линий, скрываем второстепенные имена объектов (рис.6).
Построенный чертеж является динамическим. Полностью свободными объектами являются точки А, В, С в основании пирамиды. Их местоположение можно менять произвольным образом. С меньшей степенью свободы можно менять положение вершины пирамиды – она перемещается только вдоль вертикальной прямой l. Это позволяет менять высоту пирамиды произвольным образом.
Такое построение в большей степени соответствует чертежу на бумаге. Оно не обладает такими динамическими свойствами, которые позволяют вращать пирамиду, автоматически масштабировать ее, наклонять.
Примечание: готовая интерактивная модель в программе GeoGebra представлена в файле 01_Prav_treug_piramida.ggb
Задание 2. Построить в программе GeoGebra сечение правильной треугольной пирамиды на интерактивной модели (файл 02_Prav_treug_piramida_sechenie.ggb)
Алгоритм построения сечения треугольной пирамиды в программе GeoGebra
Приведем алгоритм построения сечения треугольной пирамиды в программе GeoGebra:
— построим отрезок [MN] (точки M и N лежат в одной грани, поэтому построенный отрезок является элементом конечного результата);
— построить прямую (NK), построить прямую (SB), построить точку
Задание 3. Построить сечение куба, проходящее через заданные точки на интерактивной модели (файл 03_Kub_sechenie.ggb) (интерактивная модель обладает свойствами вращения куба с корректным отображением невидимых линий)
Алгоритм построения сечения куба через три точки
Задание: построить сечение куба, проходящего через точки M, N, K (рис. 11).
Задание 4. Построить на 3D полотне программы GeoGebra куб.
Для построения куба на полотне 3D имеет готовый инструмент «Куб». Для его использования необходимо указать две точки, которые определяют длину ребра куба, далее построение выполниться автоматически. Построим куб со стороной 2, указав две точки А(0,0,0) и В(2,0,0)
Задание 5. Построить на 3D полотне программы GeoGebra прямоугольный параллелепипед.
Для этого воспользуемся инструментом «Призма». Для его применения необходимо указать или построить многоугольник (основание), затем указать или построить первую верхнюю вершину. Построим прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами 3 и 4, а боковое ребро – высота равна 6. Для этого на полотне 2D построим основание с помощью инструмента «Многоугольник» по точкам с координатами, потом на полотне 3D построим точку в верхнем основании, удаленную от плоскости хОу на 6 и применим инструмент «Призма».
Алгоритм построения:
— на полотне 2D с помощью инструмента «Многоугольник» строим прямоугольник по точкам А(0,0), В(3,0), С(3,4), D(0,4);
— в командной строке вводим A_1=(0,0,6);
— на полотне 3D с помощью инструмента «Призма» строим прямоугольный параллелепипед, указав (щелкнув) по многоугольнику АВCD и точке А_1
Задание 6. Построить на 3D полотне программы GeoGebra составной многогранник.
Алгоритм построения составного многогранника «Ступень»
Алгоритм построения многогранника, изображенного на рисунке 19:
— на полотне 2D с помощью инструмента «Многоугольник» строим прямоугольник по точкам А(0,0), В(2,0), С(2,1), D(0,1);
— в командной строке вводим A_1=(0,0,3);
— на полотне 3D с помощью инструмента «Призма» строим прямоугольный параллелепипед, указав (щелкнув) по многоугольнику АВCD и точке А_1 (рис.18);
— на полотне 2D с помощью инструмента «Многоугольник» строим прямоугольник по точкам В(2,0), H(3,0), I(3,1), С(2,1);
— в командной строке вводим B_2=(2,0,2);
— на полотне 3D с помощью инструмента «Призма» строим прямоугольный параллелепипед, указав (щелкнув) по многоугольнику ВHIC и точке В_2 (рис.18).
Если скрыть вспомогательные элементы, раскрасить в три цвета грани (одинаковый цвет имеют равные по площади противоположные грани), то получим изображение, представленное на рисунке 19.
При подготовке чертежа, представленного на рисунке 19, использовалось несколько средств, которые полезно описать. Сначала были скрыты оси координат, координатная сетка в координатной плоскости хОу, плоскость хОу. С помощью панели объектов были скрыты все вершины многогранника. Грани раскрашены в разные цвета с помощью окна диалога «Свойства/Цвет», которое открывается, если выбрать соответствующий пункт в контекстном меню после правого щелчка мыши по грани. При этом установлена 50% прозрачность заливки грани (в том же окне диалога, на той же вкладке). Очистка рабочей области была завершена, когда скрыли контуры ограничивающего параллелепипеда – в окне «Свойства полотна» (вызывается правым щелчком мыши по полотну и выбором соответствующего пункта в контекстном меню; может оказаться так, что окно диалога не появится в окне с полотном 3D, тогда нужно перейти в окно полотна 2D) – необходимо снять флажок в группе элементов управления «Clipping» c пункта «Show clipping». Такое подробное описание действий по форматированию модели оправдано тем, что одно из важных назначений модели составленного многогранника – повышение наглядности, поэтому не должно быть лишних элементов, загромождающих чертеж.
При работе с построенной моделью удобно пользоваться кнопками вращения. Демонстрация многогранника в проекциях также помогает осознать задачу, особенно это важно для нахождения площади полной поверхности многогранника.
Примечание: готовая интерактивная модель в программе GeoGebra представлена в файле 04_Stupen.ggb
С помощью выполненного построения легко решить такую задачу:
Найти объем многогранника, изображенного на рисунке 20 (все двугранные углы многогранника прямые).
Решение:
Ясно, что «ступень» состоит из двух прямоугольных параллелепипедов. Измерения первого – маленького параллелепипеда 1,1,2 (сначала указаны длины сторон прямоугольника, расположенного в основании, а потом высота параллелепипеда). Измерения второго – большого параллелепипеда 1,2,3. Эта информация позволяет записать ответ:
Задание 7. Построить на 3D полотне многогранник, изображенный на рисунке (все двугранные углы прямые), найти его объем.
Примечание:
— анимационный алгоритм построения в файле 05_Piedestal.gif
— готовая интерактивная модель в программе GeoGebra представлена в файле 05_Piedestal.ggb
Задание 8. Построить на 3D полотне чертеж к задаче
Примечание: анимационный чертеж к задаче в файле 08_Shestiugolnik.gif
Задание 9. Построить на 3D полотне чертеж к задаче
Алгоритм построения:
Удобно, если высота конуса расположена на вертикальной оси координат. Кроме того, выбираем такой способ построения, чтобы конус был динамическим, т.е. можно менять радиус основания. При этом высота останется на вертикальной оси координат, а образующая конуса по-прежнему будет равна диаметру основания.
— строим на полотне 3D конус с помощью инструмента «Выдавить пирамиду или конус»; в качестве основания указываем окружность с центром в точке O и радиусом OB; в окне диалога указываем, что высота равна h, т.е. длине отрезка SO.
Результаты построения представлены на рисунке 25. В данном случае удобно работать параллельно на полотне 2D и на полотне 3D, поэтому они расположены рядом.
Примечание:
— анимационный чертеж к задаче в файле 09_Shar_Konus.gif
— готовая интерактивная модель в программе GeoGebra представлена в файле 09_Shar_Konus.ggb
Приложение. Начало работы с 3D полотном в программе GeoGebra
Программа GeoGebra включает 3D полотно. Для его отображения достаточно в меню «Вид» выбрать пункт «Полотно 3D». Появится окно, как представлено на рис. 30.
Такое расположение окон может оказаться не очень удобным для работы с пространственными чертежами. На полотне 2D отображена плоскость хОу. Все построения на ней дублируются в соответствующей плоскости на 3D полотне. Если необходимо построить прямоугольный параллелепипед, то прямоугольник в основании можно построить именно на 2D полотне. Отметим, что 3D полотно отображается в отдельном окне. Для этого необходимо навести указатель мыши на строку заголовка окна с 3D полотном и появится кнопка «Показать в отдельном окне» (рис. 31). После ее нажатия появится новое окно (рис. 32), в котором имеются самостоятельные инструменты для работы с пространственными построениями.
Рассмотрим назначение некоторых кнопок, на панели, под панелью инструментов (Таблица 1). Остальные кнопки, по нашему мнению, менее востребованы в рамках рассматриваемой темы.
Загрузить материалы: materials